Computing with uncertainty truth degrees: a convolution-based degrees

Abstract

La teoría de los conjuntos difusos puede contemplarse como un conjunto de herramientas matemáticas excepcionalmente adaptadas para trabajar con información incompleta, falta de nitidez e incertidumbre no aleatoria. De hecho, como herramienta en ingeniería, para traducir el lenguaje natural humano impreciso en un objeto matemático, los conjuntos difusos juegan un papel decisivo para superar la brecha entre el hombre y los ordenadores. Sin embargo, es ampliamente conocido que la asignación de un valor preciso como pertenencia no es una tarea sencilla. En la literatura, se han propuesto y estudiado varias generalizaciones de los conjuntos difusos para resolver esta dificultad. Más aún, estas generalizaciones han demostrado ser una herramienta útil, al mejorar los resultados en diferentes aplicaciones. Las generalizaciones difieren de los conjuntos difusos en el objeto matemático que se utiliza para modelar la imprecisión y/o incertidumbre. Especifícamente, los conjuntos difusos toman elementos en el intervalo unidad [0, 1] mientras que las generalizaciones toman objetos matemáticos más complejos como intervalos (conjuntos difusos intervalo-valorados), subconjuntos del intervalo unidad (conjuntos difusos "conjunto-valorados") o funciones (conjuntos difusos tipo-2), entre otros. No obstante, el uso de las generalizaciones de los conjuntos difusos tiene un gran inconveniente. Antes de aplicar las generalizaciones de los conjuntos difusos es necesario adaptar ad hoc cada noción teórica al correspondiente objeto matemático que modela la incertidumbre en la aplicación, es decir, es necesario redefinir cada noción teórica reemplazando el intervalo unidad [0, 1] por objetos matemáticos más complejos. En la historia de los conjuntos difusos quedó claro relativamente pronto que la relación natural entre la teoría de conjuntos y la lógica clásica podía ser imitada generando una relación entre la teoría de los conjuntos difusos y la lógica multi-valuada. Hoy en día esta lógica multivaluada recibe el nombre de lógica difusa. Del mismo modo, cada generalización de los conjuntos difusos genera un nuevo sistema lógico. Todos estos sistemas lógicos coinciden en que intentan modelar incertidumbre, pero difieren en el objeto matemático que representa esta incertidumbre. Es fácil comprobar que el mismo problema entre conjuntos difusos y sus generalizaciones puede encontrarse en los distintos sistemas lógicos, es decir, aunque todos ellos son similares, cada noción teórica tiene que ser redefinida para cada lógica. Este problema, junto con el gran número de lógicas que modelan incertidumbre, nos ha llevado a estudiar si es o no posible encontrar un sistema que englobe estas lógicas y nos ha motivado a proponer un sistema lógico que permita modelar la incertidumbre de manera más flexible. Centrándonos especialmente en sistemas lógicos provenientes de la lógica difusa, en esta tesis doctoral proponemos un nuevo sistema lógico que recupera varias de las lógicas de la literatura. La principales ventajas de nuestra propuesta son: evitará la excesiva repetición de las nociones teóricas; permitirá adaptar la aplicación a la generalización de los conjuntos difusos más adecuada de una manera mucho más sencilla. En esta tesis doctoral presentamos la semántica del modelo lógico propuesto junto con un estudio en profundidad de la operación de convolución que se utiliza para definir las conectivas disyunción y conjunción del sistema.

Fuzzy set theory can be seen as a body of mathematical tools exceptionally well-suited to deal with incomplete information, unsharpness and non-stochastic uncertainty. Indeed, as a tool for translating natural imprecise human language into mathematical objects, fuzzy sets are playing a crucial role in engineering for bridging the gap between man and computers. However, it is widely spread that the assignation of an exact membership degree is not an easy task. As a possible solution to this difficulty, several generalizations of fuzzy sets have been introduced and studied in the literature. Moreover, these generalizations have shown to be very useful in many applications leading to improved results when generalizations of fuzzy sets are considered. Generalizations differ from fuzzy sets in the mathematical object used to model the imprecision and/or uncertainty. Specifically, fuzzy sets take elements in the unit interval [0, 1] while the generalizations use more intricate mathematical objects such as intervals (interval-valued fuzzy sets), subsets of the unit interval (set-valued fuzzy sets or hesitant fuzzy sets), or functions (type-2 fuzzy sets), among others. Nevertheless, the use of the generalizations of fuzzy sets has a main drawback. Before applying any of the generalizations of fuzzy sets, it is necessary to adapt ad-hoc each theoretical notion to the corresponding mathematical object which represents the uncertainty in the considered application, i.e., it is necessary to redefine each theoretical notion from the unit interval [0, 1] to more intricate mathematical objects. Rather early in the history of fuzzy sets it became clear that the natural relationship between classical set theory and classical logic can be mimicked generating a natural relationship between fuzzy set theory and many-valued logic. This many-valued logic is nowadays called fuzzy logic. Similarly, each generalization of fuzzy sets constitutes a new fuzzy logical system. All these logical systems coincide in the sense that all of them model uncertainty, but they differ in the mathematical object which represents it. It can be easily seen that the same problem of fuzzy sets and its generalizations is found in the different fuzzy logics, i.e., although all the logical systems are akin, every theoretical notion has to be redefined for each logic. This problem, as well as the large number of these logical systems that model uncertainty, has led us to study whether or not it is possible to find a system that can encompass these logics and it has motivated us to propose a logical system that can model the uncertainty in a malleable way. Especially focusing on those logical systems that turn up from fuzzy theory, in this dissertation we propound a new logical system which retrieves multiple logical systems in the literature. The main advantages of the proposed logical system are that: it will avoid the excessive repetitions of theoretical notions; it will allow to adapt the applications to the most suitable type of fuzzy set or fuzzy logic in a simpler way. In this dissertation we present the semantics of the proposed logical system as well as a indepth study of the convolution operations, which are applied to define the disjunction and conjunction connectives of the logical system.