Averaging, reduction and reconstruction in the spatial three-body problem

Abstract

El objetivo de esta tesis es el estudio de la dinámica del problema espacial de tres cuerpos. En particular, se establece la existencia de toros KAM asociados a diferentes tipos de movimientos. El problema espacial de tres cuerpos es un sistema hamiltoniano de nueve grados de libertad. La primera parte de la tesis consiste en aplicar técnicas de promedios y reducción con el fin de obtener un sistema reducido de un grado de libertad, es decir, aquel en el que todas las simetrías continuas han sido reducidas. El estudio, desarrollado a lo largo del presente documento, es válido en las regiones en las cuales el hamiltoniano del problema espacial de tres cuerpos puede ser expresado como suma de dos sistemas keplerianos más un pequeña perturbación. El proceso de reducción consta de las siguientes etapas: 1.- Reducción de la simetría traslacional. 2.- Reducción kepleriana, introducida en el proceso de normalización. 3.- Reducción de la simetría rotacional. 4.- Reducción de las simetría introducida al truncar el desarrollo del potencial. En primer lugar, reducimos la simetría traslacional, escribiendo el hamiltoniano en función de las coordenadas de Jacobi. A continuación, utilizamos las variables de Deprit para eliminar los nodos. Posteriormente, normalizamos con respecto de las anomalías medias en una región sin resonancias y truncamos los términos de mayor orden. El sistema obtenido es expresado en términos de los invariantes que definen el espacio reducido, el cual es una variedad simpléctica de dimensión ocho. En segundo lugar, se reduce la simetría rotacional que viene determinada por el hecho de que el módulo del momento angular total y su proyección en el eje vertical del sistema de referencia inercial son integrales del movimiento. Una vez calculados los invariantes asociados a las simetrías generadas por dichas integrales y el espacio reducido correspondiente, expresamos el hamiltoniano en término de estos invariantes. Ahora el espacio reducido tiene dimensión seis y es singular para algunos valores de los parámetros. En esta parte del estudio, la teoría de la reducción singular juega un papel clave. El último paso en el proceso de reducción es el de eliminar la simetría asociada al argumento del pericentro del cuerpo exterior. Dicha simetría aparece al truncar el hamiltoniano, puesto que este resulta ser independiente del argumento del pericentro. Una vez finalizado el proceso de reducción, obtenemos un espacio, que puede ser regular y difeomorfo a S2 o singular con a lo sumo tres puntos singulares, de dimensión dos parametrizado por medio de tres invariantes. En este espacio estudiamos los equilibrios relativos, su estabilidad y bifurcaciones. Partiendo del análisis de los equilibrios relativos en el espacio más reducido, llevamos a cabo la reconstrucción de toros KAM alrededor de cada equilibrio de tipo elíptico. Nuestro estudio consiste en una combinación de técnicas de regularizaci ón basadas en la construcción de espacios reducidos a diferentes niveles y la determinación explícita de coordenadas simplécticas. Todo esto nos permite calcular las torsiones para todas las posibles combinaciones de movimientos que las tres partículas puede seguir, incluyendo aquellos en los que los cuerpos interiores siguen trayectorias casi rectilíneas. Para probar la existencia de soluciones cuasi-periódicas utilizamos el teorema de Han, Li y Yi para sistemas hamiltonianos con alta degeneración y obtenemos toros KAM, de dimensión cinco, alrededor de equilibrios elípticos que representan diferentes tipos de movimientos. Centrándonos en los movimientos casi rectilíneos, encontramos soluciones cuasiperiódicas de los tres cuerpos tales que los dos cuerpos interiores describen órbitas cercanas a las de colisión. Los cuerpos interiores no colisionan, siguen órbitas acotadas con excentricidades próximas a uno. Estas soluciones están asociadas a puntos de equilibrio elípticos y o bien están en el plano invariable o son perpendiculares a él. Estas soluciones llenan toros invariantes de dimensión cinco.