Aproximación de la función de Kätzel en términos de funciones elementales

Abstract

El objetivo del trabajo es aproximar la función de Krätzel Z(x, v, ρ) mediante desarrollos en serie en términos de funciones elementales, ya sean de forma asintótica o convergente. Para ello, se utilizarán métodos clásicos como el Lema de Watson y métodos actuales, como el método de Laplace modificado o el método de continuación analítica, logrando en ocasiones una representación en forma de serie de la función en una región de su dominio. Primero, se presentará la función y alguna de sus aplicaciones. Posteriormente se presentan herramientas analíticas relacionadas que se utilizarán para los desarrollos en serie y de los métodos ya mencionados. Una vez vistas las herramientas, se realizará el estudio del comportamiento de la función cuando su primera variable x es grande, seguido del caso en el que x es pequeña, distinguiendo casos según el comportamiento de sus otras variables. A continuación se realizará el estudio del comportamiento de la función cuando su segunda variable v es grande y positiva, seguido de cuando es grande y negativa, teniendo que modificar los métodos mencionados para poder aplicarlos. Finalmente, se estudia el caso en el que la primera y segunda variable tienen el mismo orden.

The aim of the paper is to approximate the Krätzel function Z(x, v, ρ) by series expansions in terms of elementary functions, either asymptotic expansions or convergent expansions. For this purpose, classical methods such as Watson’s Lemma and modern methods such as the Modified Laplace method or the analytic continuation method will be used, sometimes achieving a series representation of the function in a region of its domain. First the function and some of its applications will be presented. Subsequently, related analytical tools that will be used for the se ries and the methods already mentioned will be presented. Once the tools have been detailed, the study of the behavior of the function when its first variable x is large will be carried out, followed by the case in which x is small, distinguishing cases according to the behavior of its other variables. Next, we will study the behavior of the function when its second variable v is large and positive, followed by when it is large and negative, having to modify the mentioned methods in order to apply them. Finally, the case in which the first and second variables have the same order is studied.