Ejection-collision solutions from KAM tori in restricted N-body problems

La principal idea del presente trabajo es el estudio de soluciones de tipo eyección-colisión en varios casos del problema de N cuerpos, empezando por el problema restringido de tres cuerpos en el caso plano. En estas soluciones, la partícula sale eyectada desde un primario y pasa cerca varias veces antes de colisionar con él. El análisis de estas soluciones en el caso plano del problema restringido de tres cuerpos se ha llevado a cabo desde la década de 1980 y más recientemente por M. Ollé y colaboradores desde el punto de vista tanto analítico como numérico. En el llamado régimen lunar, el hamiltoniano es una perturbación del problema de Kepler. Primero, usando el teorema de Han-Li-Yi, probamos la persistencia de toros KAM llenos de movimientos casi peri´odicos de la pequeña partícula. Conseguimos esto aplicando una combinación de regularización, normalizaciones y reducciones simplécticas. En segundo lugar, de entre los movimientos casi periódicos cercanos a rectilíneos identificamos aquellos que corresponden a las soluciones de eyección-colisión. Nuestro enfoque ha sido generalizado al caso plano del problema de N cuerpos usando las mismas técnicas. Este último problema ha sido estudiado sobre todo numéricamente y de ahí el interés en aplicar las técnicas mencionadas para obtener resultados analíticos.

Lan honen ideia nagusia, N gorputzen problemaren hainbat kasuetan eiekziotalka motako soluzioen ikerketa da, hiru gorputzen problema murriztuaren kasu planarretik hasita. Soluzio hauetan, partikulak primario batetik eiekzionatzen du eta hainbat aldiz beraz hurbil pasa ondoren, berarekin talka egiten du. Soluzio hauen analisia hiru gorputzen problema murriztuaren kasu planarraren kasuan, 1980ko hamarkadatik egin da eta berrikiago M. Oll´e eta lankideengatik egina izan da bai modu analitikoan zein zenbakizkoan. Ilargi-kasua deiturikoan, Hamiltoniarra Keplerren problemarenaren perturbazio bat da. Lehenik, Han-Li-Yi teorema erabiliz, partikula txikiaren mugimendu kuasi-periodikoez beteriko KAM toruen iraunkortasuna frogatzen dugu. Erregularizazioa, normalizazioen eta erredukzio sinplektikoen konbinazio bat erabilita lortzen dugu hau. Bigarrenik, lerrozuzenetik hurbil dauden mugimendu kuasi-periodikoen artetik, eiekzio-talka soluzioei dagozkienak identifikatzen ditugu. Gure ikuspuntua, N gorputzen problemaren kasu planarrera orokortua izan da teknika berak erabiliz. Azken problema hau, zenbakizko metodoen bitartez izan da ikertuta batez ere, eta hortik interesa aipatutako teknikak aplikatzeko emaitza analitikoak lortzeko asmoarekin.

The main idea of the present work is the study of ejection-collision (EC) solutions in several cases of the N-body problem, starting with the circular restricted three-body problem (CRTBP) in the planar case. These solutions are characterised by the fact that the particle with negligible mass ejects from a primary and passes several times near it before colliding with this primary. The analysis of these solutions in the planar case of the CRTBP has been performed since the 1980s and more recently by M. Oll´e and collaborators from both an analytical and a numerical point of view. We consider the so-called lunar regime, where the infinitesimal particle is near one of the primaries. In this case the Hamiltonian is a perturbation of the Kepler problem. First, by applying a combination of regularisation, normalisation, symplectic reduction and a KAM theorem for highly degenerate systems, Han-Li-Yi theorem, we prove the persistence of KAM tori filled in with quasi-periodic motions of the small particle. Among these quasiperiodic motions we focus on the near-rectilinear ones. Second, from these near-rectilinear quasi-periodic motions we identify those corresponding to the EC solutions. Our approach is generalised to the planar restricted N-body problem using the same techniques. The latter has been studied mainly numerically, hence the interest in applying the techniques mentioned in the search for analytical results.