El espacio de MacCullough-Miller

En este trabajo vamos a estudiar el complejo de McCullough-Miller, que se obtiene mediante la realización simplicial del poset Whitehead. Este poset se construye induciendo un orden parcial en cierto conjunto de árboles etiquetados; los elementos del poset también se pueden expresar como familias de particiones del conjunto {1, ..., n}. La principal motivación para estudiar este complejo es que admite una acción del grupo de automorfismos simétricos puros del grupo libre. A lo largo del trabajo se probará que el complejo es conexo, de dimensión n−2 y contractible. Se puede utilizar esta información para obtener propiedades acerca de la torsion y ciertas condiciones homológicas de finitud del grupo de los automorfismos externos del grupo libre. Por último se generalizará el complejo de McCullough-Miller a ciertos ejemplos de grupos de Artin de ángulo recto (RAAGs), que son grupos obtenidos a partir de grafos.

In this dissertation we are going to study the McCullough-Miller complex, which is obtained through the simplicial realization of the Whitehead poset. This poset is built by inducing a partial order on a certain set of labelled trees; the elements of the poset can also be seen as families of partitions of the set {1, ..., n}. The main motivation to study this complex is that it admits an action of the group of pure symmetric automorphisms. We will prove that the complex is connected, n − 2-dimensional and contractible. This information can be used to deduce properties about torsion and homological finiteness of the outer automorphisms of the free group. At last, this construction will be generalized to some particular cases of right-angled Artin groups (RAAGs); which are groups obtained from a graph.